Waarschijnlijkheidscalculator (2024)

Kans op twee gebeurtenissen

De unie, intersectie en andere verwante waarschijnlijkheden van twee onafhankelijke gebeurtenissen achterhalen.

Voer waarden tussen 0 en 1 in.

Waarschijnlijkheidsoplosser voor twee gebeurtenissen

Geef hieronder 2 willekeurige waarden op om de restkansen van twee onafhankelijke gebeurtenissen te berekenen.

Voer waarden tussen 0 en 1 in.

Kans op een reeks onafhankelijke gebeurtenissen

Kans op een normale verdeling

Gebruik onderstaande rekenmachine om de oppervlakte te berekenenPweergegeven in de normale verdeling, evenals de betrouwbaarheidsintervallen voor een reeks betrouwbaarheidsniveaus.

Kans op twee gebeurtenissen

Kans is de maatstaf voor de kans dat een gebeurtenis zich voordoet. Het wordt gekwantificeerd als een getal tussen 0 en 1, waarbij 1 zekerheid betekent en 0 betekent dat de gebeurtenis niet kan plaatsvinden. Hieruit volgt dat hoe groter de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, hoe zekerder het is dat de gebeurtenis zal plaatsvinden. In het meest algemene geval kan waarschijnlijkheid numeriek worden gedefinieerd als het aantal gewenste uitkomsten gedeeld door het totale aantal uitkomsten. Dit wordt verder beïnvloed door onder andere of de gebeurtenissen die worden bestudeerd onafhankelijk, wederzijds exclusief of voorwaardelijk zijn. De meegeleverde rekenmachine berekent de kans dat een gebeurtenis A of B niet plaatsvindt, de kans dat A en/of B optreden wanneer ze elkaar niet uitsluiten, de kans dat zowel gebeurtenis A als B optreden en de kans dat gebeurtenis A of gebeurtenis B komt voor, maar niet beide.

Aanvulling van A en B

Een waarschijnlijkheid gegevenA, aangeduid metVADER), is het eenvoudig om het complement te berekenen, of de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis wordt beschreven doorVADER)komt niet voor,VADER'). Als bijv.P(A) = 0,65vertegenwoordigt de kans dat Bob zijn huiswerk niet maakt, kan zijn leraar Sally de kans dat Bob zijn huiswerk wel maakt als volgt voorspellen:

P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,65 = 0,35

Gegeven dit scenario is er dus 35% kans dat Bob zijn huiswerk maakt. ElkP(B')zou op dezelfde manier worden berekend, en het is vermeldenswaard dat in de bovenstaande rekenmachine onafhankelijk kan zijn; d.w.z. alsP(A) = 0,65, P(B)hoeft niet per se gelijk te zijn0,35, en kan evenaren0.30of een ander nummer.

Kruispunt van A en B

Het snijpunt van gebeurtenissenAEnB, geschreven alsP(A ∩ B)ofP(A EN B)is de gezamenlijke waarschijnlijkheid van ten minste twee gebeurtenissen, hieronder weergegeven in een Venn-diagram. In het geval waarAEnBzijn elkaar uitsluitende gebeurtenissen,P(A ∩ B) = 0. Overweeg de kans op het gooien van een 4 en 6 op een enkele worp van een dobbelsteen; Het is niet mogelijk. Deze evenementen zouden daarom als wederzijds exclusief worden beschouwd. ComputerenP(A ∩ B)is eenvoudig als de gebeurtenissen onafhankelijk zijn. In dit geval de kansen op gebeurtenissenAEnBzijn vermenigvuldigd. Om de kans te vinden dat twee afzonderlijke worpen van een dobbelsteen elke keer resulteren in 6:

De meegeleverde rekenmachine houdt rekening met het geval waarin de kansen onafhankelijk zijn. Het berekenen van de waarschijnlijkheid is iets ingewikkelder wanneer de gebeurtenissen afhankelijk zijn, en omvat een goed begrip van de voorwaardelijke waarschijnlijkheid, of de waarschijnlijkheid van een gebeurtenisAgezien die gebeurtenisBis gebeurd,P(A|B). Neem het voorbeeld van een zak met 10 knikkers, waarvan 7 zwart en 3 blauw. Bereken de kans op het trekken van een zwarte knikker als een blauwe knikker is teruggetrokken zonder terug te leggen (de blauwe knikker wordt uit de zak gehaald, waardoor het totale aantal knikkers in de zak afneemt):

Kans op het trekken van een blauwe knikker:

P(A) = 3/10

Kans op het trekken van een zwarte knikker:

P(B) = 7/10

Kans op het trekken van een zwarte knikker gegeven dat er een blauwe knikker is getrokken:

P(B|A) = 7/9

Zoals te zien is, wordt de waarschijnlijkheid dat een zwarte knikker wordt getrokken, beïnvloed door een eerdere gebeurtenis waarbij een zwarte of blauwe knikker werd getrokken zonder teruglegging. Dus als een persoon de kans wil bepalen om een ​​blauwe en vervolgens een zwarte knikker uit de zak te halen:

Kans op het trekken van een blauwe en vervolgens zwarte knikker met behulp van de hierboven berekende kansen:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = (3/10) × (7/9) = 0,2333

Unie van A en B

In waarschijnlijkheid, de vereniging van gebeurtenissen,P(A U B), heeft in wezen betrekking op de toestand waarin een of alle gebeurtenissen die worden overwogen plaatsvinden, weergegeven in het Venn-diagram hieronder. Let daar opP(A U B)kan ook worden geschreven alsP(A OF B). In dit geval wordt de "inclusief OF" gebruikt. Dit betekent dat hoewel ten minste één van de voorwaarden binnen de unie waar moet zijn, alle voorwaarden tegelijkertijd waar kunnen zijn. Er zijn twee gevallen voor de vereniging van gebeurtenissen; de gebeurtenissen sluiten elkaar uit, of de gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit. In het geval dat de gebeurtenissen elkaar uitsluiten, is de berekening van de waarschijnlijkheid eenvoudiger:

Een basisvoorbeeld van elkaar uitsluitende gebeurtenissen is het gooien van een dobbelsteen, waar gebeurtenisAis de kans dat een even getal wordt gegooid, en eventBis de kans dat een oneven getal wordt gegooid. Het is in dit geval duidelijk dat de gebeurtenissen elkaar uitsluiten, aangezien een getal niet zowel even als oneven kan zijn, dusP(A U B)zou zijn3/6 + 3/6 = 1, aangezien een standaard dobbelsteen alleen oneven en even getallen heeft.

De rekenmachine hierboven berekent het andere geval, waar de gebeurtenissenAEnBsluiten elkaar niet uit. In dit geval:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Gebruik opnieuw het voorbeeld van het gooien van dobbelstenen en zoek de kans dat een even getal of een getal dat een veelvoud is van 3 wordt gegooid. Hier wordt de set weergegeven door de 6 waarden van de dobbelstenen, geschreven als:

Exclusief OR van A en B

Een ander mogelijk scenario dat de rekenmachine hierboven berekent isP(A XOF B), weergegeven in het Venn-diagram hieronder. De bewerking "Exclusieve OF" wordt gedefinieerd als de gebeurtenis dat A of B plaatsvindt, maar niet tegelijkertijd. De vergelijking is als volgt:

Stel je bijvoorbeeld voor dat het Halloween is en dat er twee emmers snoep buiten het huis staan, een met Snickers en de andere met Reese's. Meerdere knipperende neonreclames worden rond de emmers met snoep geplaatst en benadrukken dat elke trick-or-treater slechts één Snickers OF Reese's neemt, maar niet beide! Het is echter onwaarschijnlijk dat elk kind zich aan de knipperende neonreclames houdt. Gezien de kans dat Reese wordt gekozen alsP(A) = 0,65, of Snickers wordt gekozen metP(B) = 0,349, en eenP(onwaarschijnlijk) = 0,001dat een kind terughoudendheid betracht terwijl het de nadelen van een mogelijk toekomstig gaatje overweegt, bereken dan de kans dat Snickers of Reese's wordt gekozen, maar niet beide:

0,65 + 0,349 - 2 × 0,65 × 0,349 = 0,999 - 0,4537 = 0,5453

Daarom is er een kans van 54,53% dat Snickers of Reese's wordt gekozen, maar niet beide.

Normale verdeling

De normale verdeling of Gaussische verdeling is een continue kansverdeling die de functie volgt van:

waarMis het gemiddelde enP²is de variantie. Let daar opstandaardafwijkingwordt meestal aangeduid alsP. Ook in het speciale geval waarµ = 0Enσ = 1, wordt de verdeling een standaardnormale verdeling genoemd. Hierboven, samen met de rekenmachine, is een diagram van een typische normale verdelingskromme.

De normale verdeling wordt vaak gebruikt om elke variabele te beschrijven en te benaderen die de neiging heeft om rond het gemiddelde te clusteren, bijvoorbeeld de lengte van mannelijke studenten op een universiteit, de bladgroottes aan een boom, de scores van een test, enz. Gebruik de " normale verdeling"-calculator hierboven om de waarschijnlijkheid te bepalen van een gebeurtenis met een normale verdeling die tussen twee gegeven waarden ligt (d.w.z.Pin bovenstaand schema); de kans op de lengte van een mannelijke student ligt bijvoorbeeld tussen de 1,5 en 1,8 meter op een universiteit. vindenPzoals weergegeven in het bovenstaande diagram, omvat het standaardiseren van de twee gewenste waarden tot een z-score door het gegeven gemiddelde af te trekken en te delen door de standaarddeviatie, evenals het gebruik van een Z-tabel om kansen voor Z te vinden. Als het bijvoorbeeld gewenst om de kans te vinden dat een student aan een universiteit een lengte heeft tussen 60 inch en 72 inch, gegeven een gemiddelde van 68 inch lang met een standaarddeviatie van 4 inch, 60 en 72 inch zou als zodanig worden gestandaardiseerd:

GegevenM= 68;P= 4
(60 - 68)/4 = -8/4 = -2
(72 - 68)/4 = 4/4 = 1

De grafiek hierboven illustreert het interessegebied in de normale verdeling. Gebruik de standaard normale Z-tabel onderaan de pagina om de waarschijnlijkheid te bepalen die wordt weergegeven door het gearceerde gebied van de grafiek. Merk op dat er verschillende soorten standaard normale Z-tabellen zijn. De onderstaande tabel geeft de waarschijnlijkheid weer dat een statistiek tussen 0 en Z ligt, waarbij 0 het gemiddelde is in de standaard normale verdeling. Er zijn ook Z-tabellen die de kansen links of rechts van Z geven, die beide kunnen worden gebruikt om de gewenste kans te berekenen door de relevante waarden van elkaar af te trekken.

Voor dit voorbeeld, om de waarschijnlijkheid van een waarde tussen 0 en 2 te bepalen, zoekt u 2 in de eerste kolom van de tabel, aangezien deze tabel per definitie kansen geeft tussen het gemiddelde (dat 0 is in de standaard normale verdeling) en het aantal keuzes, in dit geval 2. Merk op dat aangezien de waarde in kwestie 2.0 is, de tabel wordt gelezen door de 2e rij uit te lijnen met de 0-kolom en de waarde daarin te lezen. Als de waarde in kwestie in plaats daarvan 2,11 zou zijn, zou rij 2,1 overeenkomen met kolom 0,01 en zou de waarde 0,48257 zijn. Merk ook op dat hoewel de werkelijke waarde van belang -2 is in de grafiek, de tabel alleen positieve waarden geeft. Aangezien de normale verdeling symmetrisch is, is alleen de verplaatsing belangrijk, en een verplaatsing van 0 tot -2 of 0 tot 2 is hetzelfde en heeft dezelfde oppervlakte onder de kromme. De kans dat een waarde tussen 0 en 2 valt is dus 0,47725 , terwijl een waarde tussen 0 en 1 een kans heeft van 0,34134. Aangezien het gewenste gebied tussen -2 en 1 ligt, worden de kansen opgeteld om 0,81859 op te leveren, of ongeveer 81,859%. Terugkomend op het voorbeeld betekent dit dat er in dit geval een kans van 81,859% is dat een mannelijke student aan de betreffende universiteit een lengte heeft tussen de 60 en 72 inch.

De rekenmachine biedt ook een tabel met betrouwbaarheidsintervallen voor verschillende betrouwbaarheidsniveaus. Verwijs naar deSample Size Calculator voor verhoudingenvoor een meer gedetailleerde uitleg van betrouwbaarheidsintervallen en -niveaus. Kort gezegd is een betrouwbaarheidsinterval een manier om een ​​populatieparameter te schatten die een interval van de parameter geeft in plaats van een enkele waarde. Een betrouwbaarheidsinterval wordt altijd gekwalificeerd door een betrouwbaarheidsniveau, meestal uitgedrukt als een percentage zoals 95%. Het is een indicator voor de betrouwbaarheid van de schatting.