15.3: Problemen bij willekeurige selectie (2024)

Oefening \(\PageIndex{1}\)

(ZienOefening 3van "Problemen met willekeurige variabelen en gezamenlijke distributies") Er wordt met een dobbelsteen gegooid. Laat \(X\) het aantal ogen zijn dat omhoog komt. Een munt wordt \(X\) keer omgedraaid. Laat \(Y\) het aantal ogen zijn dat omhoog komt. Bepaal de verdeling voor \(Y\).

Antwoord

PX = [0 (1/6)*ones(1,6)];PY = [0.5 0.5];gendVergeet de nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN PXVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY PYResultaten zijn in N, PN , Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.disp(gD) % Vergelijk met P8-3 0 0,1641 1,0000 0,3125 2,0000 0,2578 3,0000 0,1667 4,0000 0,0755 5,00 00 0.0208 6,0000 0,0026

Oefening \(\PageIndex{2}\)

(ZienOefening 4van "Problemen met willekeurige variabelen en gezamenlijke distributies") Als een variatie opOefening 15.3.1, stel dat er een paar dobbelstenen wordt gegooid in plaats van een enkele dobbelsteen. Bepaal de verdeling voor \(Y\).

Antwoord

PN = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];PY = [0.5 0.5];gendVergeet geen nulcoëfficiënten voor ontbrekende machtenVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN PNvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY PYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.disp(gD) 0 0,0269 1,0000 0,1025 2,0000 0,1823 3,0000 0,2158 4,0000 0,1954 5.0000 0.1400 6,0000 0,0806 7,0000 0,0375 8,0000 0,0140 % (vervolg volgende pagina) 9,0000 0,0040 10,0000 0,0008 11,0000 0,0001 12,0000 0,0000

Oefening \(\PageIndex{3}\)

(ZienOefening 5van "Problemen met willekeurige variabelen en gezamenlijke distributies") Stel dat er een paar dobbelstenen wordt gegooid. Laat \(X\) het totale aantal ogen zijn dat verschijnt. Werp het paar nog eens \(X\) keer. Laat \(Y\) het aantal zevens zijn dat worden gegooid op de \(X\) worpen Bepaal de verdeling voor \(Y\) Wat is de kans op drie of meer zevens?

Antwoord

PX = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];PY = [5/6 1/6];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietEnter gen fn COEFFICIENTEN voor gN PXEnter gen fn-COËFFICIËNTEN voor gY PYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.disp(gD) 0 0,3072 1,0000 0,3660 2,0000 0,2152 3,0000 0,0828 4,0000 0,0230 5,0000 0,0048 6,0000 0,0008 7,0000 0,0001 8,0000 0,0000 9,0000 0,0000 10,0000 0,0000 11,0000 0,0000 12,0000 0,0000 P = (D>=3)*PD'P = 0,1116

Oefening \(\PageIndex{4}\)

(ZienVoorbeeld 7van "Voorwaardelijke verwachting, regressie") Een getal \(X\) wordt gekozen door een willekeurige selectie uit de gehele getallen 1 tot en met 20 (bijvoorbeeld door een kaart uit een doos te trekken). Een paar dobbelstenen wordt \(X\) keer gegooid. Laat \(Y\ ) het aantal "overeenkomsten" zijn (d.w.z. beide enen, beide tweeën, etc.) Bepaal de verdeling voor \(Y\).

Antwoord

gN = (1/20)*[0 eenheden(1,20)];gY = [5/6 1/6];gendVergeet nulcoëfficiënten niet voor ontbrekende machtenVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD. disp(gD) 0 0,2435 1,0000 0,2661 2,0000 0,2113 3,0000 0,1419 4,0000 0,0795 5,0000 0,0370 6,0000 0,0144 7,0000 0,0047 8,0000 0 .0013 9.0000 0.0003 10.0000 0.0001 11.0000 0.0000 12.0000 0.0000 13.0000 0.0000 14.0000 0.0000 15.0000 0.0000 16.0000 0.000 0 17,0000 0,0000 18,0000 0,0000 19,0000 0,0000 20,0000 0,0000

Oefening \(\PageIndex{5}\)

(ZienOefening 20van "Problemen met voorwaardelijke verwachting, regressie") Een getal \(X\) wordt willekeurig gekozen uit de gehele getallen 1 tot en met 100. Een paar dobbelstenen wordt \(X\) keer gegooid. Laat \(Y\) het aantal zevens zijn dat op de \(X\ wordt gegooid) ) worpen Bepaal de verdeling voor \(Y\) Bepaal \(E[Y]\) en \(P(Y \le 20)\).

Antwoord

gN = 0,01*[0 eenheden(1.100)];gY = [5/6 1/6];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y , PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.EY = dot(D,PD)EY = 8.4167P20 = (D<=20)*PD'P20 = 0,9837

Oefening \(\PageIndex{6}\)

(ZienOefening 21van "Problemen met voorwaardelijke verwachting, regressie") Een getal \(X\) wordt willekeurig gekozen uit de gehele getallen 1 tot en met 100. Elk van twee mensen tekent \(X\) keer onafhankelijk en willekeurig een getal van 1 tot 10. Laat \(Y\) het getal zijn van komt overeen (d.w.z. beide trekken eenen, beide trekken tweeën, etc.) Bepaal de verdeling voor \(Y\). Bepaal \(E[Y]\) en \(P(Y \le 10)\).

Antwoord

gN = 0,01*[0 eenheden(1.100)];gY = [0,9 0,1];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D , PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.EY = dot(D,PD)EY = 5.0500P10 = (D<=10)*PD'P10 = 0.9188

Oefening \(\PageIndex{7}\)

Stel dat het aantal inzendingen voor een wedstrijd \(N\) ~ binomiaal (20, 0,4) is. Er zijn vier vragen. Laat \(Y_i\) het aantal vragen zijn dat correct is beantwoord door de \(i\)de deelnemer. Stel dat de \(Y_i\) iid zijn, met gemeenschappelijke verdeling

\(Y =\) [1 2 3 4] \(PY =\) [0.2 0.4 0.3 0.1]

Laat \(D\) het totale aantal goede antwoorden zijn. Bepaal \(E[D]\), \(\text{Var} [D]\), \(P(15 \le D \le 25)\), en \(P(10 \le D \le 30 )\).

Antwoord

gN = ibinom(20,0.4;0:20);gY = 0.1*[0 2 4 3 1];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN , Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.ED = dot(D,PD)ED = 18.4000VD = (D.^2)*PD' - ED^2VD = 31.8720P1 = ((15<=D)&(D<=25))*PD'P1 = 0.6386P2 = ((10<=D)&(D<=30))*PD'P2 = 0,9290

Oefening \(\PageIndex{8}\)

Jachtopzieners maken een luchtopname van het aantal herten in een park. Het aantal te zien kuddes wordt verondersteld een willekeurige variabele \(N\) ~ binomiaal (20, 0,5) te zijn. Elke kudde wordt verondersteld 1 tot 10 groot te zijn, met waarschijnlijkheden

Laat \(D\) het aantal herten zijn dat onder dit model wordt waargenomen. Bepaal \(P(D \le t)\) voor \(t = 25, 50, 75, 100\) en \(P(D \ge 90)\).

Antwoord

gN = ibinom(20;0.5;0:20);gY = 0.01*[0 5 10 15 20 15 10 10 5 5 5];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PMag jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.k = [25 50 75 100];P = nullen(1,4 );voor i = 1:4 P(i) = (D<=k(i))*PD';enddisp(P) 0,0310 0,5578 0,9725 0,9998

Oefening \(\PageIndex{9}\)

Een voorraadhuis heeft zeven populaire artikelen in voorraad. De onderstaande tabel toont de waarden van de items en de waarschijnlijkheid dat ze door een klant worden geselecteerd.

Stel dat de aankopen van klanten iid zijn en dat het aantal klanten op een dag binomiaal is (10,0,5). Bepaal de verdeling voor de totale vraag \(D\).

1. Hoeveel verschillende mogelijke waarden zijn er? Wat is de maximaal mogelijke totale verkoop?
2. Bepaal \(E[D]\) en \(P(D \le t)\) voor \(t = 100, 150, 200, 250, 300\).
   Bepaal \(P(100 < D \le 200)\).

Antwoord

gN = ibinom(10,0.5;0:10);Y = [12,5 25 30,5 40 42,5 50 60];PY = 0,01*[10 15 20 20 15 10 10];mgdVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer WAARDEN in voor Y YVoer in KANSEN voor Y PYWaarden staan ​​in rijmatrix D; kansen zijn in PD.Om de verdeling te bekijken, bel voor mD.s = size(D)s = 1 839M = max(D)M = 590t = [100 150 200 250 300];P = nullen(1,5); voor i = 1:5 P(i) = (D<=t(i))*PD';enddisp(P) 0,1012 0,3184 0,6156 0,8497 0,9614P1 = ((100 

Oefening \(\PageIndex{10}\)

Een spel wordt als volgt gespeeld:

1. Er wordt een wiel rondgedraaid, waarbij een van de gehele getallen 0 tot en met 9 wordt gegeven op een even waarschijnlijke basis.
2. Een enkele dobbelsteen wordt het aantal keren gegooid dat wordt aangegeven door het resultaat van het draaien van het wiel. Het aantal gemaakte punten is het totaal van de getallen die zijn weergegeven in de reeks worpen van de dobbelsteen.
3. Een speler betaalt zestien dollar om te spelen; een dollar wordt geretourneerd voor elk gemaakt punt.

Laat \(Y\) het aantal gemaakte punten vertegenwoordigen en \(X = Y - 16\) de nettowinst (mogelijk negatief) van de speler. Bepaal de maximale waarde van

\(X, E[X], \text{Var} [X], P(X > 0), P(X \ge 10), P(X \ge 16)\)

Antwoord

gn = 0.1*eenen(1,10);gy = (1/6)*[0 eenen(1,6)];[Y,PY] = gendf(gn,gy);[X,PX] = csort( Y-16,PY);M = max(X)M = 38EX = dot(X,PX) % Check EX = En*Ey - 16 = 4.5*3.5EX = -0.2500 % 4.5*3.5 - 16 = -0.25VX = punt(X.^2,PX) - EX^2VX = 114.1875Ppos = (X>0)*PX'Ppos = 0.4667P10 = (X>=10)*PX'P10 = 0.2147P16 = (X>=16 )*PX'P16 = 0,0803

Oefening \(\PageIndex{11}\)

Marvin gaat langs bij vier klanten. Met waarschijnlijkheid \(p_1 = 0,6\) doet hij in elk geval een verkoop. Geraldine bezoekt vijf klanten, met telkens een kans \(p_2 = 0,5\) op een verkoop. Klanten die kopen doen dit op iid basis, en bestellen een bedrag \(Y_i\) (in dollars) met gemeenschappelijke verdeling:

\(Y =\) [200 220 240 260 280 300] \(PY =\) [0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10]

Stel \(D_1\) de totale verkoop voor Marvin en \(D_2\) de totale verkoop voor Geraldine. Laat \(D = D_1 + D_2\). Bepaal de verdeling en het gemiddelde en de variantie voor \(D_1\), \(D_2\), en \(D\). Bepaal \(P(D_1 \ge D_2)\) en \(P(D \ge 1500)\), \(P(D \ge 1000)\), en \(P(D \ge 750)\).

Antwoord

gnM = ibinom(4,0,6,0:4);gnG = ibinom(5,0,5,0:5);Y = 200:20:300;PY = 0,01*[10 15 25 25 15 10];[D1, PD1] = mgdf(gnM,Y,PY);[D2,PD2] = mgdf(gnG,Y,PY);ED1 = punt(D1,PD1)ED1 = 600.0000 % Controle: ED1 = EnM*EY = 2.4*250VD1 = punt(D1.^2,PD1) - ED1^2VD1 = 6.1968e+04ED2 = punt(D2,PD2)ED2 = 625.0000 % Controle: ED2 = EnG*EY = 2.5*250VD2 = punt(D2.^2,PD2 ) - ED2^2VD2 = 8.0175e+04[D1,D2,t,u,PD1,PD2,P] = icalcf(D1,D2,PD1,PD2); Gebruik matrixbewerkingen op matrices X, Y, PX, PY, t, u en P[D,PD] = csort(t+u,P);ED = dot(D,PD)ED = 1.2250e+03eD = ED1 + ED2 % Controle: ED = ED1 + ED2eD = 1.2250e +03 % (vervolg volgende pagina) VD = punt(D.^2,PD) - ED^2VD = 1.4214e+05vD = VD1 + VD2 % Controle: VD = VD1 + VD2vD = 1.4214e+05P1g2 = totaal((t >u).*P)P1g2 = 0,4612k = [1500 1000 750];PDk = nullen(1,3);voor i = 1:3 PDk(i) = (D>=k(i))*PD' ;einddisp(PDk) 0,2556 0,7326 0,8872

Oefening \(\PageIndex{12}\)

Een vragenlijst wordt naar twintig personen gestuurd. Het nummer dat antwoordt is een willekeurig getal \(N\) ~ binomiaal (20, 0,7). Als elke respondent kans \(p = 0,8\) heeft om voor een bepaalde stelling te kiezen, wat is dan de kans op tien of meer gunstige antwoorden? Van vijftien of meer?

Antwoord

gN = ibinom(20,0.7;0:20);gY = [0.2 0.8];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.P10 = (D>=10)*PD'P10 = 0.7788P15 = (D>=15)*PD'P15 = 0,0660pD = ibinom(20,0,7*0,8,0:20); % Alternatief: gebruik D binomiaal (pp0)D = 0:20;p10 = (D>=10)*pD'p10 = 0,7788p15 = (D>=15)*pD'p15 = 0,0660

Oefening \(\PageIndex{13}\)

Een willekeurig aantal \(N\) studenten legt een kwalificerend examen af. Een cijfer van 70 of meer verdient een voldoende. Stel dat \(N\) ~ binomiaal (20, 0,3). Als elke leerling kans \(p = 0,7\) heeft om 70 of meer te maken, wat is dan de kans dat iedereen slaagt? Tien of meer zullen passeren?

Antwoord

gN = ibinom(20,0.3,0:20);gY = [0.3 0.7];gendVergeet nulcoëfficiënten voor ontbrekende machten nietVoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gN gNEvoer gen fn COEFFICIENTEN in voor gY gYResultaten zijn in N, PN, Y, PY, D, PD, PKan jcalc of jcalcf gebruiken op N, D, POm de distributie te bekijken, bel voor gD.Pall = (D==20)*PD'Pall = 2.7822e-14pall = (0.3*0.7)^20 % Alternatief : gebruik D binominale (pp0)pall = 2.7822e-14P10 = (D >= 10)*PD'P10 = 0.0038

Oefening \(\PageIndex{14}\)

Er worden vijfhonderd vragenlijsten verstuurd. De kans op een antwoord is 0,6. De kans dat een antwoord gunstig is, is 0,75. Wat is de kans op minstens 200, 225, 250 gunstige antwoorden?

Antwoord

n = 500;p = 0,6;p0 = 0,75;D = 0:500;PD = ibinom(500,p*p0,D);k = [200 225 250];P = nullen(1,3);voor i = 1:3 P(i) = (D>=k(i))*PD';einddisp(P) 0,9893 0,5173 0,0140

Oefening \(\PageIndex{15}\)

Stel dat het aantal Japanse bezoekers aan Florida in een week \(N1\) ~ Poisson (500) is en het aantal Duitse bezoekers is \(N2\) ~ Poisson (300). Als 25 procent van de Japanners en 20 procent van de Duitsers Disney World bezoekt, wat is dan de verdeling voor het totale aantal \(D\) Duitse en Japanse bezoekers aan het park? Bepaal \(P(D \ge k)\) voor \(k = 150, 155, \cdot\cdot\cdot, 245, 250\).

Antwoord

\(JD\) ~ Poisson (500*0,25 = 125); \(GD\) ~ Poisson (300*0,20 = 60); \(D\) ~ Poisson (185).

k = 150:5:250;PD = cpoisson(185,k);disp([k;PD]') 150,0000 0,9964 155,0000 0,9892 160,0000 0,9718 165,0000 0,9362 170,0000 0,8736 175,0 000 0,7785 180,0000 0,6532 185,0000 0,5098 190,0000 0,3663 195,0000 0,2405 200,0000 0,1435 205,0000 0,0776 210,0000 0,0379 215,0000 0,0167 220,0000 0,0067 225,0000 0,0024 230,0000 0,0008 235,0000 0,0002 240,0000 0,0001 245,0000 0,0000 250,0000 0,0000

Oefening \(\PageIndex{16}\)

Een knooppunt in een netwerk heeft twee inkomende lijnen en twee uitgaande lijnen. Het aantal inkomende berichten \(N_1\) op lijn één per uur is Poisson (50); op regel 2 is het getal \(N_2\) ~ Poisson (45). Op inkomende lijn 1 hebben de berichten waarschijnlijkheid \(P_{1a} = 0,33\) om te vertrekken op uitgaande lijn a en \(1 - p_{1a}\) om te vertrekken op lijn b. De berichten die binnenkomen op regel 2 hebben kans \(p_{2a} = 0,47\) om op regel a te vertrekken. Wat is, uitgaande van de gebruikelijke onafhankelijkheidsveronderstellingen, de distributie van uitgaande berichten op regel a? Wat zijn de kansen op minstens 30, 35, 40 uitgaande berichten op lijn a?

Antwoord

mla = 50*0,33; m2a = 45*0,47; ma = m1a + m2a;PNa = cpoisson(ma,[30 35 40])PNa = 0,9119 0,6890 0,3722

Oefening \(\PageIndex{17}\)

Een computerwinkel verkoopt Macintosh, HP en verschillende andere IBM-compatibele personal computers. Het heeft twee belangrijke bronnen van klanten:

1. Studenten en docenten van een nabijgelegen universiteit
2. Algemene klanten voor thuis- en zakelijke computers. Stel dat de volgende aannames redelijk zijn voor maandelijkse aankopen.

• Het aantal universitaire kopers \(N1\) ~ Poisson (30). De kansen voor Mac, HP, andere zijn respectievelijk 0,4, 0,2 en 0,4.
• Het aantal niet-universitaire kopers \(N2\) ~ Poisson (65). De respectieve kansen voor Mac, HP, anderen zijn 0,2, 0,3, 0,5.
• Voor elke groep zijn de aannames voor de samengestelde vraag redelijk, en de twee groepen kopen onafhankelijk van elkaar.

Wat is de verdeling voor het aantal Mac-verkopen? Wat is de verdeling voor het totale aantal Mac- en Dell-verkopen?

Antwoord

Mac-verkoop Poisson (30*0,4 + 65*0,2 = 25); HP verkoop Poisson (30*0,2 + 65*0,3 = 25,5); totale verkoop Mac plus HP Poisson (50,5).

Oefening \(\PageIndex{18}\)

Het aantal \(N\) "hits" op een dag op een website op internet is Poisson (80). Stel dat de kans 0,10 is dat een hit resulteert in een verkoop, 0,30 is dat het resultaat een verzoek om informatie is, en 0,60 is dat de vragensteller alleen maar bladert maar geen interesse identificeert. Wat is de kans op 10 of meer verkopen? Wat is de kans dat het aantal verkopen minstens de helft is van het aantal verzoeken om informatie (gebruik geschikte eenvoudige benaderingen)?

Antwoord

X = 0:30;Y = 0:80;PX = ipoisson(80*0.1,X);PY = ipoisson(80*0.3,Y);icalc: X Y PX PY- - - - - - - - - - - -PX10 = (X>=10)*PX' % Geschatte berekeningPX10 = 0,2834pX10 = cpoisson(8,10) % Directe berekeningpX10 = 0,2834M = t>=0,5*u;PM = totaal(M.*P)PM = 0,1572

Oefening \(\PageIndex{19}\)

Het aantal \(N\) bestellingen dat naar de verzendafdeling van een postorderbedrijf wordt verzonden, is Poisson (700). Bestellingen vereisen een van de zeven soorten dozen, die met verpakkingskosten distributie hebben

Hoe groot is de kans dat de totale kosten van de dozen van $ 2,50 niet hoger zijn dan $ 475? Hoe groot is de kans dat de kosten van de dozen van $ 2,50 hoger zijn dan de kosten van de dozen van $ 3,00? Wat is de kans dat de kosten van de dozen van $ 2,50 niet meer dan $ 50,00 hoger zijn dan de kosten van de dozen van $ 3,00?Suggestie. Kap de Poisson-verdelingen af ​​op ongeveer twee keer de gemiddelde waarde.

Antwoord

X = 0:400;Y = 0:300;PX = ipoisson(700*0.25,X);PY = ipoisson(700*0.20,Y);icalcVoer rijmatrix van X-waarden in XVoer rijmatrix van Y-waarden in YVoer X in kansen PXEnter Y kansen PY Gebruik matrixbewerkingen op matrices X, Y, PX, PY, t, u en PP1 = (2.5*X<=475)*PX'P1 = 0.8785M = 2.5*t<=(3*u + 50);PM = totaal(M.*P)PM = 0,7500

Oefening \(\PageIndex{20}\)

Een auto op de 5 in een bepaalde gemeenschap is een Volvo. Als het aantal auto's dat een verkeerscontrolepunt binnen een uur passeert Poisson (130) is, wat is dan het verwachte aantal Volvo's? Wat is de kans op minimaal 30 Volvo's? Wat is de kans dat het aantal Volvo's tussen de 16 en 40 (inclusief) ligt?

Antwoord

P1 = cpoisson(130*0,2,30) = 0,2407P2 = cpoisson(26,16) - cpoisson(26,41) = 0,9819

Oefening \(\PageIndex{21}\)

Een servicecentrum aan een snelweg ervaart klanten in een periode van een uur als volgt:

• Noordwaarts: totaal aantal voertuigen: Poisson (200). Twintig procent zijn vrachtwagens.
• Zuidwaarts: totaal aantal voertuigen: Poisson (180). Vijfentwintig procent zijn vrachtwagens.

• Elke vrachtwagen heeft één of twee personen, met respectieve kansen 0,7 en 0,3.
• Elke auto heeft 1, 2, 3, 4 of 5 personen, met kansen respectievelijk 0,3, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1

Laat \(D\) onder de gebruikelijke onafhankelijkheidsveronderstellingen het aantal te bedienen personen zijn. Bepaal \(E[D]\), \(\text{Var} [D]\), en de genererende functie \(g_D (s)\).

Antwoord

\(T\) ~ Poisson (200*0.2 = 180*0.25 = 85), \(P\) ~ Poisson (200*0.8 + 180*0.75 = 295).

a = 85b = 200*0.8 + 180*0.75b = 295YT = [1 2];PYT = [0.7 0.3];EYT = punt(YT,PYT)EYT = 1.3000VYT = punt(YT.^2,PYT) - EYT^2VYT = 0.2100YP = 1:5;PYP = 0.1*[3 3 2 1 1];EYP = punt(YP,PYP)EYP = 2.4000VYP = punt(YP.^2,PYP) - EYP^2VYP = 1.6400EDT = 85*EYTEDT = 110.5000 EDP = 295*EYPEDP = 708.0000ED = EDT + EDPED = 818.5000VT = 85*(VYT + EYT^2)VT = 161.5000VP = 295*(VYP + EYP^2)VP = 2183VD = VT + VVVD = 2,2705e+03 NT = 0:180; % Mogelijk alternatiefgNT = ipoisson(85,NT);gYT = 0,1*[0 7 3];[DT,PDT] = gendf(gNT,gYT);EDT = punt(DT,PDT)EDT = 110,5000VDT = punt(DT .^2,PDT) - EDT^2VDT = 161,5000NP = 0:500;gNP = ipoisson(295,NP);gYP = 0,1*[0 3 2 2 1 1];[DP,PDP] = gendf(gNP, gYP); % Vereist te veel geheugen

\(g_{DT} (s) = \text{exp} (85(0.7s + 0.3s^2 - 1))\) \(g_{DP} (s) = \text{exp} (295(0.1 (3s + 3s^2 2s^3 + s^4 + s^5) - 1))\)

\(g_D (s) = g_{DT} (s) g_{DP} (s)\)

Oefening \(\PageIndex{22}\)

Het aantal \(N\) klanten in een winkel op een bepaalde dag is Poisson (120). Klanten betalen met contant geld of met MasterCard of Visa-betaalkaarten, met respectieve kansen 0,25, 0,40, 0,35. Maak de gebruikelijke aannames over onafhankelijkheid. Laat \(N_1, N_2, N_3\) respectievelijk het aantal contante verkopen, MasterCard-kosten en Visa-kaartkosten zijn. Bepaal \(P(N_1 \ge 30)\), \(P(N_2 \ge 60)\), \(P(N_3 \ge 50\), en \(P(N_2 > N_3)\).

Antwoord

X = 0:120;PX = ipoisson(120*0.4,X);Y = 0:120;PY = ipoisson(120*0.35,Y);icalcVoer rijmatrix van X-waarden in XVoer rijmatrix van Y-waarden in YVoer X-kansen in PXEnter Y-kansen PYGebruik matrixbewerkingen op matrices X, Y, PX, PY, t, u en PM = t > u;PM = totaal(M.*P)PM = 0,7190

Oefening \(\PageIndex{23}\)

Een discountwinkel heeft twee verkooppunten in Houston, met een gemeenschappelijk magazijn. Verzoeken van klanten worden naar het magazijn gebeld om opgehaald te worden. Twee artikelen, a en b, worden uitgelicht in een speciale uitverkoop. Het aantal bestellingen per dag van winkel A is \(N_A\) ~ Poisson (30); vanuit winkel B is het aantal bestellingen \(N_B\) ~ Poisson (40).

Voor winkel A is de kans op een bestelling voor a 0,3 en voor b 0,7.

Voor winkel B is de kans op een bestelling voor a 0,4 en voor b 0,6. Wat is de kans dat de totale bestelling voor item b op een dag 50 of meer is?

Antwoord

P = cpoisson(30*0,7+40*0,6,50) = 0,2468

Oefening \(\PageIndex{24}\)

Het aantal biedingen op een opdracht is een willekeurige variabele \(N\) ~ binomiaal (7, 0,6). Biedingen (in duizenden dollars) zijn iid met \(Y\) uniform op [3, 5]. Wat is de kans op ten minste één bod van $ 3.500 of minder?Opmerkingdat "geen bod" geen bod van 0 is.

Antwoord

% Eerste oplossing --- FY(t) = 1 - gN[P(Y>t)]P = 1-(0,4 + 0,6*0,75)^7P = 0,6794% Tweede oplossing --- Positief aantal bevredigende biedingen,% d.w.z. de uitkomst is indicator voor gebeurtenis E, met P(E) = 0.25pN = ibinom(7,0.6,0:7);gY = [3/4 1/4]; % generatorfunctie voor indicator[D,PD] = gendf(pN,gY); % D is het aantal successenPa = (D>0)*PD' % D>0 betekent ten minste één succesvol bodPa = 0,6794

Oefening \(\PageIndex{25}\)

Het aantal klanten tijdens het middaguur bij een bankloket is een willekeurig getal \(N\) met verdeling

\(N =\) 1 : 10, \(PN =\) 0,01 * [5 7 10 11 12 13 12 11 10 9]

De bedragen die ze willen opnemen, kunnen worden weergegeven door een iid-klasse met de gemeenschappelijke verdeling \(Y\) ~ exponentieel (0,01). Bepaal de kansen dat de maximale opname kleiner is dan of gelijk is aan \(t\) voor \(t = 100, 200, 300, 400, 500\).

Antwoord

Gebruik \(F_W(t) = g_N[P(Y\andT)]\)

gN = 0,01*[0 5 7 10 11 12 13 12 11 10 9];t = 100:100:500;PY = 1 - exp(-0,01*t);FW = polyval(fliplr(gN),PY) % fliplr zet coëfficiënten in % afnemende machtsvolgorde FW = 0,1330 0,4598 0,7490 0,8989 0,9615

Oefening \(\PageIndex{26}\)

Er wordt een opdracht uitgeschreven. Ervaring leert dat het aantal \(N\) biedingen een willekeurige variabele is met waarden van 0 tot en met 8, met respectieve kansen

De markt is zodanig dat biedingen (in duizenden dollars) iid, uniform [100, 200] zijn. Bepaal de waarschijnlijkheid van ten minste één bod van $ 125.000 of minder.

Antwoord

Kans op een succesvol bod \(PY = (125 - 100)/100 = 0,25\)

PY =0,25;gN = 0,01*[5 10 15 20 20 10 10 7 3];P = 1 - polyval(fliplr(gN),PY)P = 0,9116

Oefening \(\PageIndex{27}\)

Er wordt een pand te koop aangeboden. Ervaring leert dat het aantal \(N\) biedingen een willekeurige variabele is met waarden van 0 tot en met 10, met respectieve waarschijnlijkheden

De markt is zodanig dat biedingen (in duizenden dollars) iid, uniform zijn [150, 200] Bepaal de waarschijnlijkheid van ten minste één bod van $ 180.000 of meer.

Antwoord

Beschouw een reeks \(N\) proeven met waarschijnlijkheid \(p = (180 - 150)/50 = 0,6\).

gN = 0,01*[5 15 15 20 10 10 5 5 5 5 5];gY = [0,4 0,6];[D,PD] = gendf(gN,gY);P = (D>0)*PD'P = 0,8493

Oefening \(\PageIndex{28}\)

Er wordt een pand te koop aangeboden. Ervaring leert dat het aantal \(N\) biedingen een willekeurige variabele is met waarden van 0 tot en met 8, met respectieve kansen

De markt is zodanig dat biedingen (in duizenden dollars) iid symmetrisch driehoekig zijn op [150 250]. Bepaal de waarschijnlijkheid van ten minste één bod van $ 210.000 of meer.

Antwoord

gN = 0,01*[5 15 15 20 15 10 10 5 5];PY = 0,5 + 0,5*(1 - (4/5)^2)PY = 0,6800>> PW = 1 - polyval(fliplr(gN),PY )PW = 0,6536%alternatiefgY = [0,68 0,32];[D,PD] = gendf(gN,gY);P = (D>0)*PD'P = 0,6536

Oefening \(\PageIndex{29}\)

Stel dat \(N\) ~ binomiaal (10, 0.3) en de \(Y_i\) iid zijn, uniform op [10, 20]. Laat \(V\) het minimum zijn van de \(N\) waarden van de \(Y_i\). Bepaal \(P(V > t)\) voor integerwaarden van 10 tot 20.

Antwoord

gN = ibinom(10,0,3,0:10);t = 10:20;p = 0,1*(20 - t);P = polyval(fliplr(gN),p) - 0,7^10P = Kolommen 1 tot en met 7 0,9718 0,7092 0,5104 0,3612 0,2503 0,1686 0,1092 Kolommen 8 t/m 11 0,0664 0,0360 0,0147 0Pa = (0,7 + 0,3*p).^10 - 0,7^10 % Alternatieve vorm van gNPa = Kolommen 1 t/m 7 0,9718 0,7092 0,5104 0,3612 0,2503 0,1686 0,1092 Kolommen 8 tot en met 11 0,0664 0,0360 0,0147 0

Oefening \(\PageIndex{30}\)

Stel dat een leraar evenveel kans heeft dat er op een bepaalde dag 0, 1, 2, 3 of 4 leerlingen binnenkomen tijdens kantooruren. Als de duur van de individuele bezoeken, in minuten, iid exponentieel is (0,1), wat is dan de kans dat geen enkel bezoek langer dan 20 minuten zal duren?

Antwoord

gN = 0.2*ones(1,5);p = 1 - exp(-2);FW = polyval(fliplr(gN),p)FW = 0.7635gY = [p 1-p]; % alternatief[D,PD] = gendf(gN,gY);PW = (D==0)*PD'PW = 0,7635

Oefening \(\PageIndex{31}\)

Twaalf solid-state modules zijn geïnstalleerd in een besturingssysteem. Als de modules niet defect zijn, hebben ze een vrijwel onbeperkte levensduur. Echter, met waarschijnlijkheid \(p = 0.05\) kan elke eenheid een defect hebben wat resulteert in een levensduur (in uren) exponentieel (0.0025). Wat is onder de gebruikelijke aannames over onafhankelijkheid de kans dat het apparaat niet uitvalt vanwege een defecte module in de eerste 500 uur na installatie?

Antwoord

p = 1 - exp(-0.0025*500);FW = (0.95 + 0.05*p)^12FW = 0.8410gN = ibinom(12,0.05,0:12);gY = [p 1-p];[D, PD] = gendf(gN,gY);PW = (D==0)*PD'PW = 0,8410

Oefening \(\PageIndex{32}\)

Het aantal \(N\) biedingen op een schilderij is binomiaal (10, 0,3). De biedbedragen (in duizenden dollars) \(Y_i\) vormen een iid-klasse, met gemeenschappelijke dichtheidsfunctie \(f_Y (t) =0.005 (37 - 2t), 2 \le t \le 10\). Hoe groot is de kans dat het maximale geboden bedrag hoger is dan $ 5.000?

Antwoord

\(P(Y \le 5) = 0.005 \int_{2}^{5} (37 - 2t)\ dt = 0.45\)

p = 0,45;P = 1 - (0,7 + 0,3*p)^10P = 0,8352gN = ibinom(10,0,3,0:10);gY = [p 1-p];[D,PD] = gendf(gN ,gJ); % D is het aantal "successen"Pa = (D>0)*PD'Pa = 0,8352

Oefening \(\PageIndex{33}\)

Een computerwinkel biedt elke klant die een aankoop doet van $ 500 of meer een gratis kans op een trekking voor een prijs. De kans om te winnen bij een gelijkspel is 0,05. Stel dat de tijd, in uren, tussen verkopen die in aanmerking komen voor een trekking exponentieel is (4). Wat is onder de gebruikelijke aannames over onafhankelijkheid de verwachte tijd tussen een winnende trekking? Wat is de kans op drie of meer winnaars op een dag van tien uur? Van vijf of meer?

Antwoord

\(N_t\) ~ Poisson (\(\lambda t\)), \(N_{Dt}\) ~ Poisson (\(\lambda pt\)), \(W_{Dt}\) exponentieel (\(\ lambda p\)).

p = 0,05;t = 10;lambda = 4;EW = 1/(lambda*p)EW = 5PND10 = cpoisson(lambda*p*t,[3 5])PND10 = 0,3233 0,0527

Oefening \(\PageIndex{34}\)

Ruispulsen arriveren op een datatelefoonlijn volgens een aankomstproces zodat voor elke \(t > 0\) het aantal \(N_t\) aankomsten in tijdsinterval \((0, t]\), in uren, is Poisson \((7t)\).De \(i\)de puls heeft een "intensiteit" \(Y_i\) zodanig dat de klasse \(\{Y_i: 1 \le i\}\) iid is, met de gemeenschappelijke verdelingsfunctie \(F_Y (u) = 1 - e^{-2u^2}\) voor \(u \ge 0\) Bepaal de kans dat op een achturige dag de intensiteit niet hoger zal zijn dan twee.

Antwoord

\(N_8\) is Poisson (7*8 = 56) \(g_N (s) = e^{56(s - 1)}\).

t = 2;FW2 = exp(56*(1 - exp(-t^2) - 1))FW2 = 0,3586

Oefening \(\PageIndex{35}\)

Het aantal \(N\) ruisuitbarstingen op een datatransmissielijn in een periode \((0, t]\) is Poisson (\(\mu\)). Het aantal cijferfouten veroorzaakt door de \(i\ )de burst is \(Y_i\), met de klasse \(\{Y_i: 1 \le i\}\) iid, \(Y_i - 1\) ~ geometrisch \((p)\). Een foutcorrectiesysteem is in staat om vijf of minder fouten in een burst te corrigeren. Stel \(\mu = 12\) en \(p = 0,35\). Wat is de kans dat er binnen twee uur geen niet-gecorrigeerde fout optreedt?

Antwoord

\(F_W (k) = g_N [P(Y \le k)]P(Y \le k) - 1 - q^{k - 1}\ \ N_t\) ~ Poisson (12\(t\))

q = 1 - 0,35;k = 5;t = 2;mu = 12;FW = exp(mu*t*(1 - q^(k-1) - 1))FW = 0,0138