Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen die bestaan uit een functie met meerdere onbekende variabelen en hun partiële afgeleiden. Met andere woorden, partiële differentiaalvergelijkingen helpen om een functie die meerdere variabelen bevat te relateren aan hun partiële afgeleiden. Deze vergelijkingen vallen onder de categorie differentiaalvergelijkingen.
Partiële differentiaalvergelijkingen zijn erg handig bij het bestuderen van verschillende fenomenen die in de natuur voorkomen, zoals geluid, warmte, vloeistofstroming en golven. In dit artikel gaan we dieper in op de betekenis van partiële differentiaalvergelijkingen, hun typen, formules en belangrijke toepassingen.
| 1. | Wat zijn partiële differentiaalvergelijkingen? |
| 2. | Formule voor partiële differentiaalvergelijkingen |
| 3. | Volgorde en graad van partiële differentiaalvergelijkingen |
| 4. | Soorten partiële differentiaalvergelijkingen |
| 5. | Classificatie van partiële differentiaalvergelijkingen |
| 6. | Partiële differentiaalvergelijkingen oplossen |
| 7. | Toepassingen van partiële differentiaalvergelijkingen |
| 8. | Veelgestelde vragen over partiële differentiaalvergelijkingen |
Wat zijn partiële differentiaalvergelijkingen?
Partiële differentiaalvergelijkingen worden afgekort als PDE. Dezevergelijkingenworden gebruikt om problemen weer te geven die bestaan uit een onbekende functie met verschillende variabelen, zowel afhankelijke als onafhankelijke, evenals de partiële afgeleiden van deze functie met betrekking tot de onafhankelijke variabelen.
Definitie van partiële differentiaalvergelijkingen
Partiële differentiaalvergelijkingen kunnen worden gedefinieerd als een klasse vandifferentiaalvergelijkingendie relaties introduceren tussen de verschillende partiële afgeleiden van een onbekende multivariabele functie. Zo'n multivariabele functie kan uit meerdere afhankelijke en onafhankelijke variabelen bestaan. Een vergelijking die een gegeven partiële differentiaalvergelijking kan oplossen, staat bekend als een partiële oplossing.
Voorbeeld van partiële differentiaalvergelijkingen
Een voorbeeld van een partiële differentiaalvergelijking is \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) . Dit is een eendimensionale golfvergelijking.
Formule voor partiële differentiaalvergelijkingen
Partiële differentiaalvergelijkingen kunnen moeilijk op te lossen blijken te zijn. Daarom zijn er bepaalde technieken, zoals de scheidingsmethode, verandering van variabelen, enz. die kunnen worden gebruikt om een oplossing voor deze vergelijkingen te krijgen. De algemene formules voor partiële differentiaalvergelijkingen worden hieronder gegeven:
- Partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde: \(F\left (x_{1}, x_{2},...,x_{n}, w,\frac{\partial w}{\partial x_{1}}, \frac{\partial w}{\partial x_{2}},...,\frac{\partial w}{\partial x_{n}} \right ) = 0\). Hier is w = (\(x_{1}\), \(x_{2}\), ...,\(x_{n}\)) de onbekende functie en F de gegeven functie.
- Tweede-orde partiële differentiaalvergelijkingen: De algemene formule van een tweede-orde PDE in twee variabelen wordt gegeven als \(a_{1}\)(x, y)\(u_{xx}\) + \(a_{2} \)(x, y)\(u_{xy}\) + \(a_{3}\)(x, y)\(u_{yx}\) + \(a_{4}\)(x, y )\(u_{yy}\) + \(a_{5}\)(x, y)\(u_{x}\) + \(a_{6}\)(x, y)\(u_{y }\) + \(a_{7}\)(x, y)u = f(x, y).
In de volgende sectie zullen we meer leren over de soorten partiële differentiaalvergelijkingen
Volgorde en graad van partiële differentiaalvergelijkingen
Volgorde en graad van partiële differentiaalvergelijkingen worden gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen te categoriseren. De meest gebruikte partiële differentiaalvergelijkingen zijn van de eerste orde en de tweede orde.
Volgorde van partiële differentiaalvergelijkingen
Volgorde van een partiële differentiaalvergelijking kan worden gedefinieerd als de volgorde van de hoogste afgeleide term die voorkomt in de PDE. Stel dat een partiële differentiaalvergelijking wordt gegeven als \(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = z + xy\). Aangezien de orde van de hoogste afgeleide 1 is, is dit dus een partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde.
Graad van partiële differentiaalvergelijkingen
De graad van een partiële differentiaalvergelijking is de graad van de hoogste afgeleide in de PDE. De partiële differentiaalvergelijking \(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = z + xy\) zal de graad 1 hebben aangezien de hoogste afgeleide van de eerste is rang.
Soorten partiële differentiaalvergelijkingen
Partiële differentiaalvergelijkingen kunnen grofweg worden onderverdeeld in 4 typen op basis van de volgorde van de partiële afgeleiden en de aard van de vergelijking. Deze worden hieronder gegeven:
Partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
Partiële differentiaalvergelijkingen waarbij de hoogste partiële afgeleiden van de onbekende functie van de eerste orde zijn, worden partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde genoemd. Als de vergelijking n aantal variabelen heeft, kunnen we een partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde uitdrukken als F (\(x_{1}\), \(x_{2}\), ...,\(x_{n} \), \(k_{x_{1}}\), ...\(k_{x_{n}}\)). PDE's van de eerste orde kunnen beide zijnlineairen niet-lineair. Een lineaire partiële differentiaalvergelijking is er een waarbij de afgeleiden noch in het kwadraat, noch vermenigvuldigd worden.
Partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde
Partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde zijn die waarbij de hoogste partiële afgeleiden van de tweede orde zijn. PDE's van de tweede orde kunnen lineair, semi-lineair en niet-lineair zijn. Lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde zijn gemakkelijker op te lossen in vergelijking met de niet-lineaire en semi-lineaire PDE's van de tweede orde. De algemene formule voor een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde wordt gegeven als \(au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu = g(x,y)\ ). Hier zijn a, b, c, d, e, f en g functies met een reële waarde van x en/of y of het zijn reële constanten.
Quasi-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen
In quasilineaire partiële differentiaalvergelijkingen komt de hoogste orde van partiële afgeleiden voor, alleen als lineaire termen. Eerste-orde quasi-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen worden veel gebruikt voor het formuleren van verschillende problemen in de natuurkunde en techniek.
hom*ogene partiële differentiaalvergelijkingen
Een partiële differentiaalvergelijking kan hom*ogeen of niet-hom*ogeen worden genoemd, afhankelijk van de aard van de variabelen in termen. De partiële differentiaalvergelijking met alle termen die de afhankelijke variabele en zijn partiële afgeleiden bevatten, wordt een niet-hom*ogene PDE genoemd of anderszins niet-hom*ogeen.
Classificatie van partiële differentiaalvergelijkingen
Stel dat we een lineaire tweede orde PDE hebben van de vorm A\(u_{xx}\) + 2B\(u_{xy}\) + C\(u_{yy}\) + andere termen van lagere orde = 0. Dan dediscriminerendvan zo'n vergelijking wordt gegeven door B2- AC. Met behulp van deze discriminant kunnen partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde als volgt worden geclassificeerd:
- Parabolische partiële differentiaalvergelijkingen:Als B2- AC = 0, het resulteert in een parabolische partiële differentiaalvergelijking. Een voorbeeld van een parabolische partiële differentiaalvergelijking is de warmtegeleidingsvergelijking.
- Hyperbolische partiële differentiaalvergelijkingen:Zo'n vergelijking wordt verkregen als B2- AC > 0. De golfvergelijking is een voorbeeld van een hyperbolische partiële differentiaalvergelijking, aangezien golfvoortplanting door dergelijke vergelijkingen kan worden beschreven.
- Elliptische partiële differentiaalvergelijkingen:B2- AC < 0 zijn elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. De Laplace-vergelijking is een voorbeeld van een elliptische partiële differentiaalvergelijking.
| Classificatie | Canonieke vorm | Type | Voorbeeld |
| B2- ac > 0 | \(\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial\eta } + ... = 0\) | Hyperbolische partiële differentiaalvergelijking | Golfvoortplantingsvergelijking |
| B2- wissel = 0 | \(\frac{\partial^{2} u}{ \partial\eta^{2} } + ... = 0\) | Parabolische partiële differentiaalvergelijking | Warmtegeleidingsvergelijking |
| B2- ac < 0 | \(\frac{\partial^{2} u}{ \partial\alpha ^{2} } +\frac{\partial^{2} u}{ \partial\beta ^{2} }+ ... = 0\) | Elliptische partiële differentiaalvergelijking | Laplace-vergelijking |
Partiële differentiaalvergelijkingen oplossen
Er kunnen veel methoden zijn die kunnen worden gebruikt om een partiële differentiaalvergelijking op te lossen. Stel dat een partiële differentiaalvergelijking verkregen moet worden door de willekeurige functies uit een vergelijking z = yf(x) + xg(y) te elimineren. De stappen om dit te doen zijn als volgt:
Stap 1:Differentieer beide zijden naar x en y.
\(\frac{\partiële z}{\partiële x}\) = yf'(x) + g(y) ---(1)
\(\frac{\partiële z}{\partiële y}\) = f(x) + xg'(y) ---(2)
Stap 2:Maak nu onderscheid tussen (1) w.r.t tot y en (2) w.r.t x.
\(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}\) = f'(x) + g'(y)
Stap 3:Vermenigvuldig de eerste vergelijking met x en de tweede vergelijking met y en tel vervolgens de resultante op.
x\(\frac{\partiële z}{\partiële x}\) + y\(\frac{\partiële z}{\partiële y}\) = xg(y) + yf(x) + xy(f' (x) + g'(y))
= z + xy(f'(x) + g'(y))
Vervanging van stap 2 krijgen we,
x\(\frac{\partiële z}{\partiële x}\) + y\(\frac{\partiële z}{\partiële y}\) = z + xy(\(\frac{\partiële^{2 } z}{\gedeeltelijke x\gedeeltelijke y}\))
De algemene, bijzondere of enkelvoudige oplossing kan voor deze vergelijking worden bepaald door verschillende methoden te gebruiken, zoals verandering van variabelen, substitutie, enz.
Toepassingen van partiële differentiaalvergelijkingen
Partiële differentiaalvergelijkingen worden veel gebruikt in wetenschappelijke gebieden zoals natuurkunde en techniek. Enkele toepassingen van partiële differentiaalvergelijkingen worden hieronder gegeven:
- Partiële differentiaalvergelijkingen worden gebruikt om vergelijkingen te modelleren om de verspreiding van warmte te beschrijven. De vergelijking wordt gegeven door \(u_{xx}\) = \(u_{t}\)
- Voortplanting van licht en geluid wordt gegeven door de golfvergelijking. Deze vergelijking is een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde en wordt gegeven door \(u_{xx}\) - \(u_{yy}\) = 0.
- De Black-Scholes-vergelijking is een andere belangrijke partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde die wordt gebruikt om financiële modellen te construeren.
Gerelateerde artikelen:
- Regels voor differentiatie
- Integratie
- Differentiatie- en integratieformules
Belangrijke opmerkingen over partiële differentiaalvergelijkingen
- Een partiële differentiaalvergelijking is een vergelijking die bestaat uit een onbekende multivariabele functie samen met zijn partiële afgeleiden.
- Er zijn grofweg 4 soorten partiële differentiaalvergelijkingen. Dit zijn eerste orde, tweede orde, quasi-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen en hom*ogene partiële differentiaalvergelijkingen
- Partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde kunnen worden ingedeeld in drie typen: parabolisch, hyperbolisch en elliptisch.
Veelgestelde vragen over partiële differentiaalvergelijkingen
Wat zijn partiële differentiaalvergelijkingen?
Partiële differentiaalvergelijkingen kunnen worden gedefinieerd als differentiaalvergelijkingen die bestaan uit een onbekendefunctie, met verschillende afhankelijke en onafhankelijke variabelen en hun partiële afgeleiden.
Wat is de formule voor partiële differentiaalvergelijkingen?
De algemene vorm van een partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde wordt gegeven als F (\(x_{1}\), \(x_{2}\), ...,\(x_{n}\), \(k_ {x_{1}}\), ...\(k_{x_{n}}\)) terwijl die van een tweede orde PDE wordt gegeven door \(au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy} +du_{x}+eu_{y}+yu = g(x,y)\).
Hoe partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen?
Er zijn veel methoden beschikbaar om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen, zoals scheidingsmethode, substitutiemethode en verandering vanvariabelen. Afhankelijk van de vraag kunnen deze methoden worden gebruikt om het antwoord te krijgen.
Zijn partiële differentiaalvergelijkingen lineair?
Alle partiële differentiaalvergelijkingen zijn mogelijk niet lineair. Er kunnen ook semi-lineaire en niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen zijn.
Wat zijn de soorten partiële differentiaalvergelijkingen?
De typen partiële differentiaalvergelijkingen worden hieronder vermeld:
- Partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
- Partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde
- Quasi-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen
- hom*ogene partiële differentiaalvergelijkingen
Wat zijn gewone differentiaalvergelijkingen en partiële differentiaalvergelijkingen?
Gewone differentiaalvergelijkingen (ODE) zijn vergelijkingen die differentiëlen bevatten met betrekking tot slechts één variabele. Partiële differentiaalvergelijkingen hebben partiële afgeleiden met betrekking tot verschillende onafhankelijke variabelen. ODE is een subklasse van PDE.
Wat zijn de toepassingen van partiële differentiaalvergelijkingen?
Partiële differentiaalvergelijkingen worden veel gebruikt in techniek en natuurkunde om natuurlijke fenomenen zoals warmteoverdracht, golfvoortplanting, diffusie en elektrostatica te modelleren.
