6.2: Continue willekeurige variabelen (2024)

Laatst bijgewerkt
Opslaan als PDF

Pagina-ID: 91584

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)

SECTIE DOELSTELLINGEN

Aan het einde van dit onderdeel moet de student in staat zijn om:

Herken en gebruik continue willekeurige variabelen.
Bereken en interpreteer waarschijnlijkheden voor een continue willekeurige variabele.

Continue willekeurige variabelen hebben veel toepassingen. Honkbalslaggemiddelden, IQ-scores, de duur van een interlokaal telefoongesprek, de hoeveelheid geld die een persoon bij zich heeft, de duur van een computerchip en SAT-scores zijn er maar een paar. Het gebied van betrouwbaarheid hangt af van een verscheidenheid aan continue willekeurige variabelen.

De waarden van discrete en continue willekeurige variabelen kunnen dubbelzinnig zijn. Als \(X\) bijvoorbeeld gelijk is aan het aantal mijlen (tot op de dichtstbijzijnde mijl) dat u naar uw werk rijdt, dan is \(X\) een discrete willekeurige variabele. Je telt de kilometers. Als \(X\) de afstand is die je naar je werk rijdt, dan meet je waarden van \(X\) en is \(X\) een continue willekeurige variabele. Voor een tweede voorbeeld, als \(X\) gelijk is aan het aantal boeken in een rugzak, dan is \(X\) een discrete willekeurige variabele. Als \(X\) het gewicht van een boek is, dan is \(X\) een continue willekeurige variabele omdat gewichten worden gemeten. Hoe de willekeurige variabele wordt gedefinieerd, is erg belangrijk.

6.2: Continue willekeurige variabelen (2)

Eigenschappen van continue kansverdelingen

Het feit dat het onmogelijk is om alle waarden van een continue willekeurige variabele op te sommen, maakt het onmogelijk om een kansverdelingstabel te maken.kansdichtheidsfunctie(pdf) waarvan de grafiek altijd op of boven de horizontale as staat en het totale gebied tussen de grafiek en de horizontale as gelijk is aan 1. We zeggen dat een continue willekeurige variabele \(X\) geassocieerd is met een gegeven kansdichtheidscurve\(f(x )\) als de kans dat\(X\) tussen \(a\)en \(b\) ligt, d.w.z. \(P(a

6.2: Continue willekeurige variabelen (3)

Samengevat:

De uitkomsten worden gemeten, niet geteld.
Het hele gebied onder de curve en boven de x-as is gelijk aan één.
Waarschijnlijkheid wordt gevonden voor intervallen van \(x\) waarden in plaats van voor individuele \(x\) waarden.
De kans dat de toevalsvariabele \(X\) in het interval tussen de waarden \(c\) en \(d\), \(P(c < X < d)\) ligt, is de oppervlakte onder de curve, boven deX-as, rechts van \(c\) en links van \(d\).
De kans dat \(x\) een enkele individuele waarde aanneemt is nul, d.w.z. \(P(X = c) = 0\) voor elke \(c\). De reden is dat het gebied tussen de curve en deX-as tussen \(x = c\) en \(x = c\) heeft geen breedte, en dus geen oppervlakte (oppervlakte = 0). Omdat de kans gelijk is aan de oppervlakte, is de kans ook nul.
\(P(c < X < d)\) is hetzelfde als \(P(c \leq X \leq d)\) omdat kans gelijk is aan oppervlakte.
De complementaire regel geldt namelijk \(P(Xc)=1\).

Voorbeeld \(\PageIndex{1}\)

Als de oppervlakte aan de linkerkant 0,0228 is, dan is de oppervlakte aan de rechterkant \(1 - 0,0228 = 0,9772\).

Oefening \(\PageIndex{1}\)

Als het gebied links van \(x\) \(0.012\) is, wat is dan het gebied rechts?

Antwoord: \(1 - 0,012 = 0,988\)

Interactieve oefening \(\PageIndex{1}\)

Het gebied dat waarschijnlijkheid vertegenwoordigt, kan worden gevonden door gebruik te maken van geometrie, formules, technologie of waarschijnlijkheidstabellen. Over het algemeen is calculus nodig om het gebied onder de curve te vinden voor veel kansdichtheidsfuncties. Wanneer we formules gebruiken om het gebied in dit leerboek te vinden, werden de formules gevonden met behulp van de technieken van integraalrekening. Omdat de meeste studenten die deze cursus volgen echter geen calculus hebben gestudeerd, zullen we in dit handboek geen calculus gebruiken. Er zijn veel continue kansverdelingen. Wanneer een continue kansverdeling wordt gebruikt om waarschijnlijkheid te modelleren, wordt de gebruikte verdeling geselecteerd om de specifieke situatie op de beste manier te modelleren en te passen.

De volgende grafieken illustreren de kansdichtheidsfuncties en hun toepassingen voor enkele algemene distributies.

6.2: Continue willekeurige variabelen (4)

6.2: Continue willekeurige variabelen (5)

6.2: Continue willekeurige variabelen (6)

Vervolgens zullen we een van de standaard continue willekeurige variabelen bekijken die uniform wordt genoemd, en enkele van zijn toepassingen.Auniforme kansdichtheidsfunctiemet parameters \(a\)en \(b\) is \(f(x)=\frac{1}{b-a}\) waarvan de grafiek een horizontale lijn is \(f(x)=\frac{1}{ b-a}\) boven de x-as van \(x=a\)naar \(x=b\).Een willekeurige variabele\(X\) met zo'n kansdichtheidsfunctie wordt een genoemduniforme willekeurige variabelemet parameters \(a\)en \(b\) en we duiden het aan als \(X\sim U(a,b)\). De parameters \(a\)en \(b\) worden vaak de minimum en maximale grenzen.

Aangezien de grafiek van een uniforme kansdichtheidsfunctie een rechte horizontale lijn is, is de kans \(P(c

\(P(c

Voorbeeld \(\PageIndex{2}\)

Beschouw de functie \(f(x) = \frac{1}{20}\) voor \(0 \leq x \leq 20\). De grafiek van \(f(x) = \frac{1}{20}\) is een horizontale lijn. Echter, aangezien \(0 \leq x \leq 20\), is \(f(x)\) beperkt tot het gedeelte tussen \(x = 0\) en \(x = 20\), inclusief.

6.2: Continue willekeurige variabelen (7)

\(f(x) = \frac{1}{20} \text{ voor } 0 \leq x \leq 20.\)

De grafiek van \(f(x) = \frac{1}{20}\) is een horizontaal lijnstuk als \(0 \leq x \leq 20\).

Het gebied tussen \(f(x) = \frac{1}{20}\) waar \(0 \leq x \leq 20\) en deX-as is de oppervlakte van een rechthoek met basis = 20 en hoogte = \(\frac{1}{20}\).

\(GEBIED = 20 \links(\frac{1}{20} \rechts) = 1\)

Stel dat we de oppervlakte willen vinden tussen \(f(x) = \frac{1}{20}\) en deX-as waarbij \(0 < x < 2\).

6.2: Continue willekeurige variabelen (8)

\(GEBIED = (2 - 0) \links(\dfrac{1}{20} \rechts) = 0.1\)

\((2 - 0) = 2 = \text{basis van een rechthoek}\)

HERINNERING: oppervlakte van een rechthoek = (basis)(hoogte).

Het gebied komt overeen met een waarschijnlijkheid. Als \(X\) de kansdichtheidsfunctie \(f(x)\) heeft, dan is de kans dat \(X\) tussen nul en twee ligt 0,1, wat wiskundig kan worden geschreven als \(P(0 < X < 2) = P(X < 2) = 0,1\).

Stel dat we de oppervlakte willen vinden tussen \(f(x) = \frac{1}{20}\) en deX-as waarbij \(4 < x < 15\).

6.2: Continue willekeurige variabelen (9)

\(\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0,55\)

\((15 – 4) = 11 = \text{de basis van een rechthoek}(15 – 4) = 11 = \text{de basis van een rechthoek}\)

De oppervlakte komt overeen met de waarschijnlijkheid \(P(4 < X < 15) = 0,55\).

Stel dat we \(P(X = 15)\) willen vinden. Een verticale lijn \(x=15\) heeft geen breedte (of geen breedte). Dus, \(P(X = 15) = (\text{base})(\text{hoogte}) = (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

6.2: Continue willekeurige variabelen (10)

Bekijk de volgende grafiek om de kans te berekenen dat \(x\) tussen twee waarden ligt. Schaduw het gebied tussen \(x = 2.3\) en \(x = 12.7\). Bereken vervolgens de gearceerde oppervlakte van een rechthoek.

6.2: Continue willekeurige variabelen (11)

\(P(2.3 < X < 12.7) = (\text{base})(\text{hoogte}) = (12.7−2.3)\left(\dfrac{1}{20}\right) = 0.52\)

Oefening \(\PageIndex{2}\)

Beschouw de functie \(f(x) = \frac{1}{8}\) voor \(0 \leq x \leq 8\). Teken de grafiek van \(f(x)\) en vind \(P(2.5 < x < 7.5)\).

Antwoord: \(P (2,5 < X < 7,5) = 0,625\)

Interactieve oefening \(\PageIndex{2}\)

Uniforme willekeurige variabelen hebben veel toepassingen.

Voorbeeld \(\PageIndex{3}\)

Een willekeurige passagier komt op een treinstation waar zijn gewenste stadsmetro elke 15 minuten doorheen rijdt. Bereken de kans dat de wachttijd

(i) minder dan 10 minuten.

(ii) tussen 3 en 7 minuten.

(iii) meer dan 12 minuten.

Oplossing

De wachttijd van de passagier kan worden geschat door een uniforme willekeurige variabele. Laat \(X\) de wachttijd zijn van een willekeurig geselecteerde passagier, dan kan deze uniform worden aangenomen met parameters 0 en 15, d.w.z. \(X\sim U(0,15)\). Dus:

(i) de waarschijnlijkheid dat de wachttijd minder dan 10 minuten bedraagt:

\(P(X<10)=\text{breedte}\cdot\text{hoogte}=(10-0)\cdot\frac{1}{15-0}=\frac{10}{15}=0.67 \)

(ii) de waarschijnlijkheid dat de wachttijd tussen 3 en 7 minuten ligt:

\(P(3

(iii) de waarschijnlijkheid dat de wachttijd langer is dan 12 minuten:

\(P(X>12)=\text{breedte}\cdot\text{hoogte}=(15-12)\cdot\frac{1}{15-0}=\frac{3}{15}=0.20 \)

Oefening \(\PageIndex{3}\)

Tussen 12.00 en 15.00 uur rijdt er elke 10 minuten een stadsmetro op de gele lijn. LaatXX de wachttijd zijn van een willekeurig geselecteerde passagier tussen 12.00 uur en 15.00 uur. Gebruik deze informatie om de kans te vinden dat het duurt:

i. minder dan 6 minuten wachten op de trein?

ii. meer dan 7 minuten wachten op de trein?

iii. tussen 4 en 9 minuten wachten op de trein?

Antwoord: (i) 0,6 (ii) 0,3 (iii) 0,5